Hiperrzeczywista

Przeprowadzanie prostego dowodu ma dużo z obliczania. Można je robić na kilka sposóbów, ja przedstawię dwa:

Mając daną formułę - np. (x+2)^2 + y i pewne parametry - np. (x, y) = (3, 2), to w pewnych wypadkach jesteśmy w stanie obliczyć wynik. Wychodząc z formuły i równościami, tożsamościami algebraicznymi dochodzimy do wyniku - wtedy obliczenia są wykonane.

Analogicznie: Mając daną tezę i pewne założenia, to w pewnych wypadkach jesteśmy w stanie udowodnić tę tezę. Wychodząc od niej i równoważnościami logicznymi dochodzimy do prawdy - wtedy twierdzenie jest udowodnione.

Jeżeli jesteśmy w ten sposób udowodnić, że teza jest równoważna prawdzie to jest prawdziwa. Tylko wtedy nie może być żadnego znaku wynikania, bo z fałszu prawda wynikać może.

Można też liczyć w drugą stronę. Tu pojawia się jedna różnica, bo obliczenia mają na celu doprowadzenie do wyniku, niezależnie jaki jest, a dowód musi do prawdy. Teoretycznie możesz zacząć od wyniku obliczeń, przekształcać algebraicznie i dojść do formuły. Tak samo w dowodzeniu, można wyjść od prawdy i rownoważnościami logicznymi przekształcać tak, aby uzyskać tezę. Wtedy możemy spokojnie używać wynikania - wszak z prawdy tylko prawda wynikac może.

Jest jedna generalna różnica pomiędzy równaniami algebraicznymi a dowodzeniem, którą starałem się . W równaniach nie mamy odpowiednika wynikania. Jeżeli a = b to b = a, tak jak równoważność - jeżeli a ↔ b to b ↔ a. Nie ma 'równości w jedną stronę', więc nie ma problemu z obiema metodami obliczania [choć druga jest trochę bezsensowna]. W pierwszej metodzie aby dowód był poprawny to muszą być albo równoważności albo wynikania w drugą stronę, bo tak naprawdę to musimy tak samo jak w drugiej metodzie dowieść, że z prawdy wynika teza.

Aby poznać inne metody dowodzenia polecam stronę How To Write Proofs.

Pewnie nie raz słyszeliście jedno z pytań faryzejskich - "Czy Bóg potrafi stworzyć taki kamień którego nie będzie potrafił podnieść?". Wydaje się, że pytanie nie ma odpowiedzi, gdyż zakłada się, że Bóg jest wszechmocny. Jednak ja udowodnię, że na to pytanie jest odpowiedź jednoznaczna i brzmi 'nie'.

Definicje:

f(x) - predykat na zbiorze wielkości kamieni: 'Czy Bóg potrafi stworzyć kamień o wielkości x'. Mówimy tutaj o wielkości, nie istotne jest czy to chodzi o promień, objętość czy masę.

g(x) - predykat na zbiorze wielkości kamieni: 'Czy Bóg potrafi podnieść kamień o wielkości x'.

Tak jak już mówiłem, zakładamy wszechmocność Boga:

1. ∀x f(x) - 'Bóg potrafi stworzyć kamień dowolnej wielkości'
2. ∀x g(x) - 'Bóg potrafi podnieśc kamień dowolnej wielkości'

Teza: ∼∃x (f(x) ∧ ∼g(x)) - 'nie istenie taki kamień, że Bóg go potrafi stworzyć i nie potrafi podnieść'.

Dowód:

1. Zaprzeczenie małego kwantyfikatora jest kwantyfikatorem wielkim zaprzeczenia: ∀x ∼(f(x) ∧ ∼g(x))
2. Prawo de Morgana: zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń: ∀x (∼f(x) ∨ g(x))
3. Prawy argument alternatywy jest prawdziwy z założenia. Alterantywa w której występuje jedna wartość prawdziwa jest cała prawdziwa.

QED.

Osobiście ostatni krok mi troszke nie pasuje, jest zbyt nieścisły, muszę się przyznać, że brakuje mi aparatu matematycznego, żeby go rozbić na dwie części. Więc mam dowód w drugą stronę:

1. Wychodzimy od założenia 2: ∀x g(x)
2. Wiemy, że alternatywa prawdy z dowolnym zdaniem logicznym daję dalej prawdę, wiec wybieramy sobie odgórne, fałszywe zdanie: ∀x ~f(x) ∨ ∀x g(x)
3. Wielki kwantyfikator można 'wyciągnąć przed nawias': ∀x (~f(x) ∨ g(x)) - to jest jedyne przejście które jest tylko wynikaniem, nie działa w drugą stronę. Wszystkie inne są tożsamościami.
4. Prawo de Morgana: ∀x ∼(f(x) ∧ ∼g(x))
5. Z zaprzeczenia wielkiego kwantyfikatora: ∼∃x (f(x) ∧ ∼g(x)) - teza.