Hiperrzeczywista

Ponieważ nie ma najmniejszej liczby rzeczywistej większej od zera, Analiza matematyczna musiała wprowadzić pojęcie granicy, aby można było mówić o nieskończenie małych różnicach argumentów funkcji i w ten sposób zapoczątkować rachunek różniczkowy. Ale co, jeżeli wprowadzić liczbę nieskończenie małą [LNM]?

Kiedy mówię o liczbach nieskończenie małych mam na myśli liczby, które są mniejsze na moduł od wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera. Nie chodzi mi o symbol -∞.

Pierwszym człowiekiem, który używał LNM był Archimedes. Sam nie wierzył, że istnieją, jednak znalazł im zastosowanie w badaniu pól różnych figur.

Oczywiście LNM nie jest liczbą rzeczywistą. Trzeba więc stworzyć zbiór liczb hiperrzeczywistych i określić na nim porządek.

Załóżmy więc, że istnieje zbiór ⋆R, który zawiera w sobie wszystkie ciągi nieskończone. Spostrzegawczy czytelnik zauważy, że to tak naprawdę R^∞. Zbiór ⋆R nazwiemy zbiorem liczb hiperrzeczywistych, a element tego zbioru - liczbą hiperrzeczywistą.

Oprócz tego załóżmy, że liczby rzeczywiste przekładają się w sposób naturalny na liczby hiperrzeczywiste:

r ∈ R → r = (r, r, r, ...) ∈ ⋆R.

Dodatkowo, zdefiniujmy sobie działania podstawowe: Dodawanie liczb hiperrzeczywistych:

a,b ∈ ⋆R; a+b = (a₁, a₂, ...) + (b₁, b₂, ...) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ...)

I mnożenie w ten sam sposób. Dzielić przez liczbę hiperrzeczywistą można tylko wtedy gdy na żadnej pozycji nie ma zera.

Teraz trzeba wprowadzić sobie porządek - czyli relacje porównania, która z dwóch liczb jest większa. Sprawa nie jest prosta, bo która z tych liczb jest większa?:

(1, 0, 0, 0, ...) i (0, 1, 0, 0, ...)

Jeżeli zdefiniujemy sobie relacje większości tak, że liczba x jest większa od liczby y wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy [wszystkich oprócz skończonej ilości] liczby x są większe od odpowiadających im wyrazów liczby y:

a,b ∈ ⋆R; a > b ⇔ ∃n ∈ N, A ⊂ N : |A| = n ⋀ ∀k ∉ A : a_k > b_k

Takie założenie daje nam praporządek. Aby zacieśnić porządek trzeba jeszcze założyć, że jeżeli liczby różnią się w skończonej ilości miejsc to są równe:

a,b ∈ ⋆R; a = b ⇔ ∃n ∈ N, A ⊂ N : |A| = n ⋀ ∀k ∉ A : a_k = b_k

Stworzenie liniowego porządku jest niemożliwe, bo, przykładowo, nie można porównać (0, 0, ...) i (1, -1, 1, -1, ...) - na nieskończonej liczbie miejsc jest większa i na nieskończonej liczbie miejsc jest mniejsza.

Teraz, zdefiniujemy sobie liczbę nieskończenie małą [a] jako taką, która po pomnożeniu przez każdą liczbę rzeczywistą daje liczbę mniejszą od 1:

∀b ∈ R : ab < 1

Oczywiście, w takiej definicji, liczbą nieskończenie małą jest rzeczywiste zero. Jednak okazuje się, że istnieją niezerowe LNM, a nawet takie, które na żadnej pozycji nie zawierają zera. Przykład aż się ciśnie na usta:

(2^-1, 3^-1, 4^-1, 5^-1, ...)

Ta liczba ma taką własność, że jest mniejsza na moduł od każdej liczby rzeczywistej - tylko skończona ilość wyrazów jest większych. Odwrotnością tej liczby jest liczba nieskończenie wielka - taka, która jest większa od każdej liczby rzeczywistej.

Zdefiniujmy sobie moduł z liczby hiperrzeczywistej:

a ∈ ⋆R : |a| = (|a₁|, |a₂|, ...)

Funkcja transportowa z liczb hiperrzeczywistych do rzeczywistych jest bardziej skomplikowana. Zdefiniujmy sobie liczbę skończoną a, jeżeli spełnia warunek:

∃n ∈ R : |a| < n

Okazuje się, że takie liczby tworzą klasy równoważności równe liczbą rzeczywistym. Tzn. każdej takiej liczbie skończonej hiperrzeczywistej b odpowiada tylko jedna liczba rzeczywista st(b), że b - st(b) to liczba nieskończenie mała. Tę liczbę st(b) nazywamy częścią standardową liczby hiperrzeczywistej. Więc funkcja st jest funkcją transportową z skończonych liczb w ⋆R do R. Niestety to działa tylko z wyłączeniem niektórych liczb hiperrzeczywistych, tych patologicznych przypadków liczb, które są niewiększe i niemniejsze od jakiejś liczby rzeczywistej, ale nie są jej równe.

Już brakuje nam bardzo niewiele, aby zdefiniować pochodną, ale jeszcze musimy zdefiniować taki funkcjonał T, który funkcji rzeczywistej przypisuje funkcje hiperrzeczywistą pobierającą te same argumenty z takimi samymi wartościami. Po przekształceniu dowolnej funkcji przez ten funkcjonał, możemy wykonać pochodną. Tylko najpierw ją zdefiniujmy:

f'(x) = (f(x + dx) - f(x)) / dx

Gdzie dx to dowolna, niezerowa liczba nieskończenie mała. Jak widać pochodnych tak zdefiniowanych jest nieskończenie wiele - zależnie od wybranej liczby nieskończenie małej. Przykładowo teraz pokażę jak obliczyć pochodną x².

((x + dx)² - x²) / dx = (x² + 2·x·dx + dx² - x²) / dx = (2·x·dx + dx²) / dx = 2·x + dx

To jest pochodna funkcji hiperrzeczywistej - ona sama w sobie też jest hiperrzeczywista. Jednak gdy zrobimy st(2·x + dx) to dostaniemy 2·x - pochodną rzeczywistą, niezależną od wybranej liczby nieskończenie małej.

Jak widać pochodna może być zdefiniowana bez definiowania granicy. Takie podejście i cała analiza funkcyjna zbudowana na tej podstawie nazywa się wręcz niestandardową analizą.

W dwóch miejscach jest pomylony znak nierówności: przy definiowaniu liczby nieskończenie małej (jest: ab większe od 1) i przy definicji liczby skończonej (jest: moduł a większy od n). Nie napisałeś co oznacza moduł z liczby hiperrzeczywistej (to prosty do wydedukowania szczegół, ale można się przyczepić). Dodatkowo funkcja st nie działa z 'gwiazdka R', tylko z jego podzbioru {skończone liczby hiperrzeczywiste}. Jeszcze pytanie uszczegóławiające: czy przez całkowity porządek rozumiesz porządek liniowy? Tutaj porządku liniowego nie ma. Liczby (0,0,0,...) i (1,-1,1,-1,...) nie są ani żadna mniejsza od drugiej ani równe (brak spójności relacji porządku). Mam cichą nadzieję, że moje intencje są jasne: wszystko dla poprawności i jasności (na jabbie też :)).

Znaki nierówności poprawiałem na prędce na encje XML, i się oczywiście walnąłem pomiędzy 'gt' i 'lt'. Poprawione. Ten ciąg, ograniczony a nie dążący do liczby, też mnie zaintrygowały, ale nikt na sieci o tym nie pisze. Faktycznie, nie ma liniowego porządku, jest tylko częściowy, ale to nie przeszkadza w używaniu tych liczb - mamy przecież liczby, które nie są większe i nie są mniejsze a także nie są równe już w C [zespolone, całkowite to Z ;-)]. Poprawione. Oczywiście, dla poprawności, zrozumiałe, ogromne dzięki.