Hiperrzeczywista

Przeprowadzanie prostego dowodu ma dużo z obliczania. Można je robić na kilka sposóbów, ja przedstawię dwa:

Mając daną formułę - np. (x+2)^2 + y i pewne parametry - np. (x, y) = (3, 2), to w pewnych wypadkach jesteśmy w stanie obliczyć wynik. Wychodząc z formuły i równościami, tożsamościami algebraicznymi dochodzimy do wyniku - wtedy obliczenia są wykonane.

Analogicznie: Mając daną tezę i pewne założenia, to w pewnych wypadkach jesteśmy w stanie udowodnić tę tezę. Wychodząc od niej i równoważnościami logicznymi dochodzimy do prawdy - wtedy twierdzenie jest udowodnione.

Jeżeli jesteśmy w ten sposób udowodnić, że teza jest równoważna prawdzie to jest prawdziwa. Tylko wtedy nie może być żadnego znaku wynikania, bo z fałszu prawda wynikać może.

Można też liczyć w drugą stronę. Tu pojawia się jedna różnica, bo obliczenia mają na celu doprowadzenie do wyniku, niezależnie jaki jest, a dowód musi do prawdy. Teoretycznie możesz zacząć od wyniku obliczeń, przekształcać algebraicznie i dojść do formuły. Tak samo w dowodzeniu, można wyjść od prawdy i rownoważnościami logicznymi przekształcać tak, aby uzyskać tezę. Wtedy możemy spokojnie używać wynikania - wszak z prawdy tylko prawda wynikac może.

Jest jedna generalna różnica pomiędzy równaniami algebraicznymi a dowodzeniem, którą starałem się . W równaniach nie mamy odpowiednika wynikania. Jeżeli a = b to b = a, tak jak równoważność - jeżeli a ↔ b to b ↔ a. Nie ma 'równości w jedną stronę', więc nie ma problemu z obiema metodami obliczania [choć druga jest trochę bezsensowna]. W pierwszej metodzie aby dowód był poprawny to muszą być albo równoważności albo wynikania w drugą stronę, bo tak naprawdę to musimy tak samo jak w drugiej metodzie dowieść, że z prawdy wynika teza.

Aby poznać inne metody dowodzenia polecam stronę How To Write Proofs.