Hiperrzeczywista

Druga połowa dziewiętnastego wieku i pierwsza dwudziestego była bardzo obfita pod względem prac teorio-mnogościowych. W tym czasie zostały opublikowane aksjomaty Zermelo, w tym czasie teorią mnogości zajował się Cantor i Russel, w tym czasie pracował Hilbert i Gödel. Myślę, że o nich wszystkich w przyszłości napiszę osobno, ale dziś o hipotezie continuum.

Hipotezę continuum przedstawił Cantor. Powiedział w niej, że nie ma zbioru, który ma mniej elementów niż liczb rzeczywistych a więcej niż liczb naturalnych. Jednym słowem stwierdził, że c = ℵ₁.

Na początku hipoteza wydawała się nieistotna, dopiero później okazała się ważna. Bardzo wiele twierdzeń, np. twierdzenie o liczbach nieosiągalnych zależy od prawdziwości tej hipotezy.

Hipoteza bardzo długo nie była rozstrzygnięta. Jej niedowodliwość na podstawie aksjomatów Zermelo-Fraenkela udowodnił Kurt Gödel w 1940, najpierw wykorzystując swój aksjomat wyboru, a kiedy to się nie podobało matematykom, udowodnił to samo bez tego aksjomatu. Za to Paul Cohen w 1963, wykorzystując forcing, udowodnił nieobalalność HC na podstawie aksjomatów Zermelo-Fraenkela. Tak więc jest ona od nich niezależna.

Tak więc teraz stwierdza się 'jeżeli przyjmiemy, że hipoteza continuum jest prawdziwa, to twierdzenie jest w mocy'.

Powstała także uogólniona hipoteza continuum, która stwierdza, że 2^ℵ_n = ℵ_n+1, ona też jest nieudowadnialna.

Tak więc matematycy, którzy wierzą, że uniwersum jest 'bardzo pełne' odrzucają HC, a Ci, którzy wolą mieć porządek - przyjmują.