Hiperrzeczywista

Dziś troszkę zabawy z matematyką. Na pewno spotkaliście się z czymś takim jak 'szyfr cezara', w świecie komputerowym znany także jako 'rot n'. Jest to prosty algorytm, który pozwala szyfrować wiadomość tak, żeby nie była w prosty sposób możliwa do odczytania. .

Szyfr cezara działa na zasadzie 'przekręcania' alfabetu. 'Przesuwamy' każdą literę o n znaków do przodu, jeżeli wyszliśmy poza ostatni znak, to zaczynamy liczyć od pierwszego. Oryginalnie Juliusz Cezar szyfrował przy n = 3. Co najciekawsze, przy n = 13 ten sam algorytm szyfruje wiadomość a także ją odszyfrowuje po ponownym użyciu. Ten algorytm działa jak należy na literach łacińskich, ponieważ jest ich 26.

Zastanówmy się jak można by go przedstawić matematycznie. Pierwsze co musimy to zdefiniować sobie zbiór liter - nowej 'jakości'. To jest naprawdę proste: ζ - zbiór liter.

A teraz w podobny sposób definiujemy sobie literę: α ∈ ζ: α - litera.

Jak na razie idzie nam wyśmienicie. Ale zbiór liter to jeszcze nie alfabet. Potrzebujemy jeszcze porządku. Niestety, tutaj po raz trzeci będziemy musieli zrobić to aksjomatycznie, ostatecznie musielibyśmy wypisać wszystkie pary w relacji większości. Tak więc ≼ - relacja zwrotna, asymetryczna i przechodnia. Tak więc para (ζ, ≼) - alfabet.

Teraz wyłuskamy sobie litery łacińskie ze zbioru liter: L ⊂ ζ, L = {'a', 'b', 'c', ..., 'z'}. Wiadomo: |L| = 26, a także (L, ≼) - alfabet łaciński.

Zdefiniujmy sobie normę na alfabecie w ten sposób, że 'wartość' litery, to jest ilość liter przed nią:

|·|: ζ → N; |α| = |{x: x≼α ⋀ x≠α}|

Uwaga: pierwsza norma to nasza norma na literze, druga to moc zbioru.

Ponieważ relacja ≼ jest porządkiem liniowym na ζ, więc norma jest różnowartościowa, więc istnieje funkcja |·|^-1 - słowami można powiedzieć, że przypisuje liczbie literę, która się znajduje na odpowiedniej pozycji.

Następnie zdefiniujemy sobie funkcje, która literę przesuwa w alfabecie o n pozycji:

ρ: A⊂ζ × N → A; ρ(α, n) = |(|α| + n) mod |A||^-1.

Szczególny przypadek A = L i n = 3 to szyfr cezara a przy n = 13 to sławny 'rot13'.

Ja tylko taki mały grosik od siebie, że "alfabet" definiuje się też na potrzeby teorii języków formalnych i tam na jego elementach nie ma określonej relacji mniejszości. ;-)

Owszem, owszem. Tylko tam faktycznie nie jest to potrzebne. Tutaj było to konieczne ;-)

gsgsg

wal sie pedziu