Hiperrzeczywista

Dużo ludzi, którzy nie mają związku z matematyką wyższą ma problem z określeniem które zbiory mają większą liczebność. Przy zbiorach skończonych jeszcze nie ma problemu, ale przy nieskończonych one się pojawiają.

Pierwsze co musimy zdefiniować to 'równoliczność' zbiorów. Definicja formalna brzmi: Dwa zbioru są równoliczne gdy istnieje bijekcja z jednego zbioru na drugi. Czyli jeżeli potrafimy skonstruować relacje między zbiorami A i B, która każdemu elementowi zbioru A przypisuje dokładnie jeden element zbioru B i dodatkowo każdy element B ma dokładnie jeden element zbioru będący z nim w relacji - czyli ta relacja jest bijekcją, to zbioru A i B są równoliczne. Jeszcze prościej: Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przypiszemy jeden unikalny element zbioru B to zbiory mają tyle samo elementów.

Na przykładzie: Gdy mamy zbiór {2,3} i {6,7}, to potrafimy skonstruować taką relacje: {(2,6), (3,7)}, że jest ona bijekcją, więc zbiory są równoliczne. Gdybyśmy probowali stworzyć taką relacje między zbiorami {1,2,3} i {5,6} to mielibyśmy problem, bo nie jesteśmy w stanie stworzyć żadnej bijekcji między tymi dwoma zbiorami. Więc nie są równoliczne.

Następną rzeczą jest definicja zbioru skończonego. Zbiór skończony w sensie Dedekinda to taki zbiór, który nie jest równoliczny z żadnym swoim podzbiorem właściwym. Jak to rozumieć? Przykładowo {1,2,3} ma 7 podzbiorów właściwych: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}. Z żadnym nie jest równoliczny - ze zbioru pustego nie prowadzi żadna funkcja, a z każdym innym przykładem nie poradzimy sobie tak jak nie poradziliśmy sobie z powyższym.

Ale jak to możliwe, że zbiory nieskończone są równoliczne ze swoimi podzbiorami właściwymi? Można to wskazać na przykładzie liczb naturalnych. Przykładem podzbioru właściwego jest A = {2, 3, 4, ...}. Jest to podzbiór właściwy, ponieważ wszystkie jego elementy są elementami zbioru liczb naturalnych, ale nie zawiera elementu '1'. Ale uwaga, bijekcja, która przekształca zbiór liczb naturalnych z tym podzbiorem istnieje:

f: N → A, f(x) = x + 1

Czy funkcja f jest bijekcją? Każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych przypisuje jeden element zbioru A, jest ona różnowartościowa. Więc jest bijekcją. Więc co zaskakujące - zabraliśmy jeden element, a ich dalej jest tyle samo!

Skoro tak się stało, to znaczy, że zbiór liczb naturalnych nie jest skończony, wiec według Dedekinda jest nieskończony.

Zdefiniujmy sobie takie działanie nazwane 'mocą zbioru'. Moc zbioru A oznaczamy |A|. Moc zbioru przy zbiorze skończonym jest równa największemu elementowi w podzbiorze liczb naturalnych posiadającym najmniejsze liczby z którym zbiór pierwotny jest równoliczny. Tzn, zbiór zawierający {a,b,c} jest równoliczny z podzbiorem najmniejszych liczb naturalnych {1,2,3} a maksymalny element tam to 3. Więc |{a,b,c}| = 3.

A co ze zbiorami nieskończonymi? Georg Cantor wprowadził oznaczenie dla liczebności zbioru liczb naturalnych. Stwierdził, że skoro nie jest równoliczny z żadnym zbiorem skończonym to trzeba nadać nowe oznaczenie. I tak |N| = א₀. Jest to pierwsza i najmniejsza liczba kardynalna. Mówi się, że liczb naturalnych jest 'przeliczalna ilość', ponieważ można je 'liczyć'

Następną zaskakującą rzeczą jest pewna równoliczność. Gdybyśmy wszystkie liczby wymierne poukładali tak:

Q = {0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3, 3, -3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4, -4, ...}

W takim wypadku możemy zrobić taką bijekcje:

f: N → Q, że f(1) = 0, f(2) = 1; f(3) = -1; f(4) = 1/2; ...

Więc skoro istnieje taka bijekcja, to znaczy, że liczb naturalnych jest tyle samo, co liczb wymiernych. Zaskakujące? A jednak |Q| = א₀.

Jednak Cantor udowodnił także to, że liczb rzeczywistych jest 'więcej' niż naturalnych. Udowodnił to 'rozumowaniem przekątniowym'. Umówmy się, że wszystkie liczby z przedziału [0,1] możemy ponumerować, tzn. poukładać w ciąg, czyli stworzyć bijekcje z liczb naturalnych. Wybieramy taką liczbę, która posiada pierwszą cyfrę po przecinku różną od pierwszej cyfry po przecinku z pierwszej liczby w ciągu, drugą cyfrę po przecinku różną od drugiej cyfry po przecinku drugiej liczby i tak w nieskończoność. Taka liczba nie znajdzie się na żadnej pozycji, więc to nie jest bijekcja. Więc zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. W ten sposób powstała druga liczba kardynalna - c. Liczb rzeczywistych jest kontinuum albo nieprzeliczalna ilość, bo nie da się ich liczyć.

Cantor wysnuł hipotezę kontinuum - powiedział, że nie ma żadnego zbioru, który jest 'mniejszy' od liczb rzeczywistych, a 'większy' od liczb naturalnych. Zostało udowodnione, że ta hipoteza jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości więc można ją udowodnić i można udowodnić jej negacje.

Co do liczebności zbiorów to zostaje mi ostatnia rzecz do przedstawienia. Chodzi o udowodnienie tego, że jest tyle samo liczb rzeczywistych co punktów na płaszczyźnie i co za tym idzie punktów w przestrzeni a także liczb hiperrzeczywistych.

Tylko skonstruuję taką bijekcje, która odcinek [0,1] mapuje na kwadrat jednostkowy [0,1]x[0,1]. Więc umówmy się, że mamy taki ciąg funkcji:

(f1, f2, f3, ...)
f1: R → R² f1(x) = (0,x);
f2: R → R² f2(x) = (0,2·x) dla x < 1/2; f2(x) = (1,2·x-1) dla x >= 1/2
f3: R → R² f3(x) = (0,3·x) dla x < 1/3; f3(x) = (1/2,3·x-1) dla x >= 1/3 i x < 2/3; f3(x) = (1,3·x-2) dla x >= 2/3
...

Granicą tego ciągu jest funkcja, która jest bijekcją z odcinka [0,1] na kwadrat jednostkowy [0,1]x[0,1], tak więc |R| = |R²| = |Rⁿ| = |R^∞| = c [dla n ∈ N].

Jak się czyta to c= 1 do x?

'ce' [liczebność zbioru kontinuum] jest równe alef [pierwsza litera alfabetu hebrajskiego] jeden.

Niestety zgłaszam stanowczy sprzeciw co do traktowania c [liczebność zbioru kontinuum] i alef 1 jako tego samego - tego dotyczy właśnie hipoteza kontinuum. Alef 1 to pierwsza liczba kardynalna za alef 0, a co do tego czy jest ona równa continuum to nie jest to ustalone w powszechnie przyjętej aksjomatyce.

A, teraz mnie olśniło, jasne. Bo c może się równać alef 2. Już poprawiam ;-)

czy ten kwadrat jednostkowy [0,1]x[0,1] czeczywiscie jest kwadratem? nie powinno byc [0,1]x[1,0] ?

Kiedy to przecież są przedziały i iloczyn kartezjański, a nie współrzędne naroźników...

Nizależmość od aksjomatów i sprzeczność to dwie inne rzeczy. Byk. Niezależnośc HC od aksjomatów znaczy tyle, że niemożna jej ani udowodnić ani obalić!

dzieki wielkie za tak� przemawiaj�c� i wyja�niaj�c� wszystkie niepewno�ci stronke :) oby takich wi�cej............... 1 stronka wyja�nia tyle co pare ksi�zek super przemawiaj�cy j�zyk i najwa�niejsza wiedza z danego kawa�ka wiedzy zebrana w jednym miejscu

ja mimo wszystko zatrzymałam się na równoliczności zbiorów skończonych. chyba do końca życia nie zrozumiem matematyki