Hiperrzeczywista

Przeprowadzanie prostego dowodu ma dużo z obliczania. Można je robić na kilka sposóbów, ja przedstawię dwa:

Mając daną formułę - np. (x+2)^2 + y i pewne parametry - np. (x, y) = (3, 2), to w pewnych wypadkach jesteśmy w stanie obliczyć wynik. Wychodząc z formuły i równościami, tożsamościami algebraicznymi dochodzimy do wyniku - wtedy obliczenia są wykonane.

Analogicznie: Mając daną tezę i pewne założenia, to w pewnych wypadkach jesteśmy w stanie udowodnić tę tezę. Wychodząc od niej i równoważnościami logicznymi dochodzimy do prawdy - wtedy twierdzenie jest udowodnione.

Jeżeli jesteśmy w ten sposób udowodnić, że teza jest równoważna prawdzie to jest prawdziwa. Tylko wtedy nie może być żadnego znaku wynikania, bo z fałszu prawda wynikać może.

Można też liczyć w drugą stronę. Tu pojawia się jedna różnica, bo obliczenia mają na celu doprowadzenie do wyniku, niezależnie jaki jest, a dowód musi do prawdy. Teoretycznie możesz zacząć od wyniku obliczeń, przekształcać algebraicznie i dojść do formuły. Tak samo w dowodzeniu, można wyjść od prawdy i rownoważnościami logicznymi przekształcać tak, aby uzyskać tezę. Wtedy możemy spokojnie używać wynikania - wszak z prawdy tylko prawda wynikac może.

Jest jedna generalna różnica pomiędzy równaniami algebraicznymi a dowodzeniem, którą starałem się . W równaniach nie mamy odpowiednika wynikania. Jeżeli a = b to b = a, tak jak równoważność - jeżeli a ↔ b to b ↔ a. Nie ma 'równości w jedną stronę', więc nie ma problemu z obiema metodami obliczania [choć druga jest trochę bezsensowna]. W pierwszej metodzie aby dowód był poprawny to muszą być albo równoważności albo wynikania w drugą stronę, bo tak naprawdę to musimy tak samo jak w drugiej metodzie dowieść, że z prawdy wynika teza.

Aby poznać inne metody dowodzenia polecam stronę How To Write Proofs.

Pewnie nie raz słyszeliście jedno z pytań faryzejskich - "Czy Bóg potrafi stworzyć taki kamień którego nie będzie potrafił podnieść?". Wydaje się, że pytanie nie ma odpowiedzi, gdyż zakłada się, że Bóg jest wszechmocny. Jednak ja udowodnię, że na to pytanie jest odpowiedź jednoznaczna i brzmi 'nie'.

Definicje:

f(x) - predykat na zbiorze wielkości kamieni: 'Czy Bóg potrafi stworzyć kamień o wielkości x'. Mówimy tutaj o wielkości, nie istotne jest czy to chodzi o promień, objętość czy masę.

g(x) - predykat na zbiorze wielkości kamieni: 'Czy Bóg potrafi podnieść kamień o wielkości x'.

Tak jak już mówiłem, zakładamy wszechmocność Boga:

1. ∀x f(x) - 'Bóg potrafi stworzyć kamień dowolnej wielkości'
2. ∀x g(x) - 'Bóg potrafi podnieśc kamień dowolnej wielkości'

Teza: ∼∃x (f(x) ∧ ∼g(x)) - 'nie istenie taki kamień, że Bóg go potrafi stworzyć i nie potrafi podnieść'.

Dowód:

1. Zaprzeczenie małego kwantyfikatora jest kwantyfikatorem wielkim zaprzeczenia: ∀x ∼(f(x) ∧ ∼g(x))
2. Prawo de Morgana: zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń: ∀x (∼f(x) ∨ g(x))
3. Prawy argument alternatywy jest prawdziwy z założenia. Alterantywa w której występuje jedna wartość prawdziwa jest cała prawdziwa.

QED.

Osobiście ostatni krok mi troszke nie pasuje, jest zbyt nieścisły, muszę się przyznać, że brakuje mi aparatu matematycznego, żeby go rozbić na dwie części. Więc mam dowód w drugą stronę:

1. Wychodzimy od założenia 2: ∀x g(x)
2. Wiemy, że alternatywa prawdy z dowolnym zdaniem logicznym daję dalej prawdę, wiec wybieramy sobie odgórne, fałszywe zdanie: ∀x ~f(x) ∨ ∀x g(x)
3. Wielki kwantyfikator można 'wyciągnąć przed nawias': ∀x (~f(x) ∨ g(x)) - to jest jedyne przejście które jest tylko wynikaniem, nie działa w drugą stronę. Wszystkie inne są tożsamościami.
4. Prawo de Morgana: ∀x ∼(f(x) ∧ ∼g(x))
5. Z zaprzeczenia wielkiego kwantyfikatora: ∼∃x (f(x) ∧ ∼g(x)) - teza.

Jaka jest największa liczba jaką widziałeś? Była ona większa niż 10³⁰? Ja myślałem, że widziałem duże liczby, zanim nie trafiłem na liczby Grahama.

Strzałka Knutha

Dużych liczb raczej się nie da przedstawić w zapisie dziesiętnym. Żeby zapisać dziesięć do milionowej, musiałbym użyć miliona znaków [prawie megabajt danych]. Na szczęście na tyle małą liczbę mogę zapisać używając notacje potęgowej: 10^1000000. Wykładnik też mogę zapisać w postaci potęgowej: 10¹⁰⁶. Jednak czasem nawet taki zapis nie wystarcza. Przykładowo, chcielibyśmy zapisać dwa do drugiej do drugiej do drugiej... - i tak 256 razy. Aby zapisać tę liczbę musiałbym użyć 256 stopni potęgowania: 2^222..2. Aby uniknąć tego rodzaju problemów Knuth wprowadził 'strzałke'.

Definicja jest kontynuacją mnożenia i potęgowania:

a·b = a+a+a+...+a [b razy]

a↑b = ab = a·a·a·a·...·a [b razy]

a↑↑b = aaa..a [b razy]

Dalej można definiować podwójną, potrójną i n-krotną strzałkę Knutha:

a↑↑b = a↑a↑a↑...↑a [b razy]

a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑...↑↑a [b razy]

a ↑n b = (((a ↑n-1 a) ↑n-1 a) ↑n-1 ...) ↑n-1 a [b razy]

Jak duże może to generować liczby? Dla przykładu: 4↑↑↑4 = ((4↑↑4)↑↑4)↑↑4 = ((4444)↑↑4)↑↑4 = (340282366920938463463374607431768211456↑↑4)↑↑4 = ...

Następnym krokiem byłoby podniesienie powyższej liczby trzydziestodziewięciocyfrowej wykorzystując cztery poziomy potęgowania. Wychodzi z tego jakaś liczba, z którą trzeba zrobić te same obliczenia [cztero poziomowe potęgowanie] i mamy 4↑↑↑4.

Liczby Grahama

Największą liczbą użytą w dowodzie matematycznym była liczba Grahama. Dawała ona górne ograniczenie problemu Grahama: Mamy n-wymiarową hiperkostkę, której wierzchołki łączymy i kolorujemy brzegi albo na czerwono albo na czarno. Jaka jest najmniejsza liczba n, taka, że niezależnie od wybranego schematu kolorowania zawsze istniały cztery wierzchołki połączone brzegami o tym samym kolorze leżące na jednej płaszczyźnie?.

Definiujemy ciąg Grahama przez rekurencje:

g1 = 3↑↑↑↑3

gn = 3 ↑gn-1 3

Tak, tam jest g_n-1-krotna strzałka Knutha pomiędzy trójkami. Czyli w g₂ jest 3↑↑↑↑3 strzałek.

W tym ciągu liczba Grahama jest 64. Czytelnikowi pozostawiam ocenę wielkości tej liczby.

Druga połowa dziewiętnastego wieku i pierwsza dwudziestego była bardzo obfita pod względem prac teorio-mnogościowych. W tym czasie zostały opublikowane aksjomaty Zermelo, w tym czasie teorią mnogości zajował się Cantor i Russel, w tym czasie pracował Hilbert i Gödel. Myślę, że o nich wszystkich w przyszłości napiszę osobno, ale dziś o hipotezie continuum.

Hipotezę continuum przedstawił Cantor. Powiedział w niej, że nie ma zbioru, który ma mniej elementów niż liczb rzeczywistych a więcej niż liczb naturalnych. Jednym słowem stwierdził, że c = ℵ₁.

Na początku hipoteza wydawała się nieistotna, dopiero później okazała się ważna. Bardzo wiele twierdzeń, np. twierdzenie o liczbach nieosiągalnych zależy od prawdziwości tej hipotezy.

Hipoteza bardzo długo nie była rozstrzygnięta. Jej niedowodliwość na podstawie aksjomatów Zermelo-Fraenkela udowodnił Kurt Gödel w 1940, najpierw wykorzystując swój aksjomat wyboru, a kiedy to się nie podobało matematykom, udowodnił to samo bez tego aksjomatu. Za to Paul Cohen w 1963, wykorzystując forcing, udowodnił nieobalalność HC na podstawie aksjomatów Zermelo-Fraenkela. Tak więc jest ona od nich niezależna.

Tak więc teraz stwierdza się 'jeżeli przyjmiemy, że hipoteza continuum jest prawdziwa, to twierdzenie jest w mocy'.

Powstała także uogólniona hipoteza continuum, która stwierdza, że 2^ℵ_n = ℵ_n+1, ona też jest nieudowadnialna.

Tak więc matematycy, którzy wierzą, że uniwersum jest 'bardzo pełne' odrzucają HC, a Ci, którzy wolą mieć porządek - przyjmują.

Dziś troszkę zabawy z matematyką. Na pewno spotkaliście się z czymś takim jak 'szyfr cezara', w świecie komputerowym znany także jako 'rot n'. Jest to prosty algorytm, który pozwala szyfrować wiadomość tak, żeby nie była w prosty sposób możliwa do odczytania. .

Szyfr cezara działa na zasadzie 'przekręcania' alfabetu. 'Przesuwamy' każdą literę o n znaków do przodu, jeżeli wyszliśmy poza ostatni znak, to zaczynamy liczyć od pierwszego. Oryginalnie Juliusz Cezar szyfrował przy n = 3. Co najciekawsze, przy n = 13 ten sam algorytm szyfruje wiadomość a także ją odszyfrowuje po ponownym użyciu. Ten algorytm działa jak należy na literach łacińskich, ponieważ jest ich 26.

Zastanówmy się jak można by go przedstawić matematycznie. Pierwsze co musimy to zdefiniować sobie zbiór liter - nowej 'jakości'. To jest naprawdę proste: ζ - zbiór liter.

A teraz w podobny sposób definiujemy sobie literę: α ∈ ζ: α - litera.

Jak na razie idzie nam wyśmienicie. Ale zbiór liter to jeszcze nie alfabet. Potrzebujemy jeszcze porządku. Niestety, tutaj po raz trzeci będziemy musieli zrobić to aksjomatycznie, ostatecznie musielibyśmy wypisać wszystkie pary w relacji większości. Tak więc ≼ - relacja zwrotna, asymetryczna i przechodnia. Tak więc para (ζ, ≼) - alfabet.

Teraz wyłuskamy sobie litery łacińskie ze zbioru liter: L ⊂ ζ, L = {'a', 'b', 'c', ..., 'z'}. Wiadomo: |L| = 26, a także (L, ≼) - alfabet łaciński.

Zdefiniujmy sobie normę na alfabecie w ten sposób, że 'wartość' litery, to jest ilość liter przed nią:

|·|: ζ → N; |α| = |{x: x≼α ⋀ x≠α}|

Uwaga: pierwsza norma to nasza norma na literze, druga to moc zbioru.

Ponieważ relacja ≼ jest porządkiem liniowym na ζ, więc norma jest różnowartościowa, więc istnieje funkcja |·|^-1 - słowami można powiedzieć, że przypisuje liczbie literę, która się znajduje na odpowiedniej pozycji.

Następnie zdefiniujemy sobie funkcje, która literę przesuwa w alfabecie o n pozycji:

ρ: A⊂ζ × N → A; ρ(α, n) = |(|α| + n) mod |A||^-1.

Szczególny przypadek A = L i n = 3 to szyfr cezara a przy n = 13 to sławny 'rot13'.

Jednym z bardziej szokujących faktów jest to, że wszystko w matematyce można sprowadzić do zbioru.

• Liczba - Wszystkie liczby wyprowadza się od liczb naturalnych, a liczby naturalne to nic innego jak odpowiednie elementy zbioru induktywnego, wyprowadzany z aksjomatu nieskończoności. Przykładem takiego zbioru jest: {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, ...}. Wtedy można przypisać odpowiednio: 0 - ∅; 1 - {∅}; 2 - {∅, {∅}}; 3 - {∅, {∅}, {∅, {∅}}}; ...
• Funkcja - To relacja spełniająca odpowiednie założenia, a relacja to nic innego jak podzbiór iloczynu kartezjańskiego - czyli zbiór.
• Ciąg - Uporządkowana dwójka (a, b) to zbiór {{a}, {a,b}} - czyli zbiór zawierający elementy, ze wskazaniem na pierwszy. Tak samo można wyprowadzić trójkę uporządkowaną: (a, b, c) = (a, (b, c)). Analogicznie wyprowadza się uporządkowaną n-ke, albo ciąg nieskończony.

Wszystkie inne 'jakości' matematyczne wynikają z tych - tak liczby wymierne, a także rzeczywiste wynikają z naturalnych, działanie to funkcja, itp.

Dużo ludzi, którzy nie mają związku z matematyką wyższą ma problem z określeniem które zbiory mają większą liczebność. Przy zbiorach skończonych jeszcze nie ma problemu, ale przy nieskończonych one się pojawiają.

Pierwsze co musimy zdefiniować to 'równoliczność' zbiorów. Definicja formalna brzmi: Dwa zbioru są równoliczne gdy istnieje bijekcja z jednego zbioru na drugi. Czyli jeżeli potrafimy skonstruować relacje między zbiorami A i B, która każdemu elementowi zbioru A przypisuje dokładnie jeden element zbioru B i dodatkowo każdy element B ma dokładnie jeden element zbioru będący z nim w relacji - czyli ta relacja jest bijekcją, to zbioru A i B są równoliczne. Jeszcze prościej: Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przypiszemy jeden unikalny element zbioru B to zbiory mają tyle samo elementów.

Na przykładzie: Gdy mamy zbiór {2,3} i {6,7}, to potrafimy skonstruować taką relacje: {(2,6), (3,7)}, że jest ona bijekcją, więc zbiory są równoliczne. Gdybyśmy probowali stworzyć taką relacje między zbiorami {1,2,3} i {5,6} to mielibyśmy problem, bo nie jesteśmy w stanie stworzyć żadnej bijekcji między tymi dwoma zbiorami. Więc nie są równoliczne.

Następną rzeczą jest definicja zbioru skończonego. Zbiór skończony w sensie Dedekinda to taki zbiór, który nie jest równoliczny z żadnym swoim podzbiorem właściwym. Jak to rozumieć? Przykładowo {1,2,3} ma 7 podzbiorów właściwych: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}. Z żadnym nie jest równoliczny - ze zbioru pustego nie prowadzi żadna funkcja, a z każdym innym przykładem nie poradzimy sobie tak jak nie poradziliśmy sobie z powyższym.

Ale jak to możliwe, że zbiory nieskończone są równoliczne ze swoimi podzbiorami właściwymi? Można to wskazać na przykładzie liczb naturalnych. Przykładem podzbioru właściwego jest A = {2, 3, 4, ...}. Jest to podzbiór właściwy, ponieważ wszystkie jego elementy są elementami zbioru liczb naturalnych, ale nie zawiera elementu '1'. Ale uwaga, bijekcja, która przekształca zbiór liczb naturalnych z tym podzbiorem istnieje:

f: N → A, f(x) = x + 1

Czy funkcja f jest bijekcją? Każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych przypisuje jeden element zbioru A, jest ona różnowartościowa. Więc jest bijekcją. Więc co zaskakujące - zabraliśmy jeden element, a ich dalej jest tyle samo!

Skoro tak się stało, to znaczy, że zbiór liczb naturalnych nie jest skończony, wiec według Dedekinda jest nieskończony.

Zdefiniujmy sobie takie działanie nazwane 'mocą zbioru'. Moc zbioru A oznaczamy |A|. Moc zbioru przy zbiorze skończonym jest równa największemu elementowi w podzbiorze liczb naturalnych posiadającym najmniejsze liczby z którym zbiór pierwotny jest równoliczny. Tzn, zbiór zawierający {a,b,c} jest równoliczny z podzbiorem najmniejszych liczb naturalnych {1,2,3} a maksymalny element tam to 3. Więc |{a,b,c}| = 3.

A co ze zbiorami nieskończonymi? Georg Cantor wprowadził oznaczenie dla liczebności zbioru liczb naturalnych. Stwierdził, że skoro nie jest równoliczny z żadnym zbiorem skończonym to trzeba nadać nowe oznaczenie. I tak |N| = א₀. Jest to pierwsza i najmniejsza liczba kardynalna. Mówi się, że liczb naturalnych jest 'przeliczalna ilość', ponieważ można je 'liczyć'

Następną zaskakującą rzeczą jest pewna równoliczność. Gdybyśmy wszystkie liczby wymierne poukładali tak:

Q = {0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3, 3, -3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4, -4, ...}

W takim wypadku możemy zrobić taką bijekcje:

f: N → Q, że f(1) = 0, f(2) = 1; f(3) = -1; f(4) = 1/2; ...

Więc skoro istnieje taka bijekcja, to znaczy, że liczb naturalnych jest tyle samo, co liczb wymiernych. Zaskakujące? A jednak |Q| = א₀.

Jednak Cantor udowodnił także to, że liczb rzeczywistych jest 'więcej' niż naturalnych. Udowodnił to 'rozumowaniem przekątniowym'. Umówmy się, że wszystkie liczby z przedziału [0,1] możemy ponumerować, tzn. poukładać w ciąg, czyli stworzyć bijekcje z liczb naturalnych. Wybieramy taką liczbę, która posiada pierwszą cyfrę po przecinku różną od pierwszej cyfry po przecinku z pierwszej liczby w ciągu, drugą cyfrę po przecinku różną od drugiej cyfry po przecinku drugiej liczby i tak w nieskończoność. Taka liczba nie znajdzie się na żadnej pozycji, więc to nie jest bijekcja. Więc zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. W ten sposób powstała druga liczba kardynalna - c. Liczb rzeczywistych jest kontinuum albo nieprzeliczalna ilość, bo nie da się ich liczyć.

Cantor wysnuł hipotezę kontinuum - powiedział, że nie ma żadnego zbioru, który jest 'mniejszy' od liczb rzeczywistych, a 'większy' od liczb naturalnych. Zostało udowodnione, że ta hipoteza jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości więc można ją udowodnić i można udowodnić jej negacje.

Co do liczebności zbiorów to zostaje mi ostatnia rzecz do przedstawienia. Chodzi o udowodnienie tego, że jest tyle samo liczb rzeczywistych co punktów na płaszczyźnie i co za tym idzie punktów w przestrzeni a także liczb hiperrzeczywistych.

Tylko skonstruuję taką bijekcje, która odcinek [0,1] mapuje na kwadrat jednostkowy [0,1]x[0,1]. Więc umówmy się, że mamy taki ciąg funkcji:

(f1, f2, f3, ...)
f1: R → R² f1(x) = (0,x);
f2: R → R² f2(x) = (0,2·x) dla x < 1/2; f2(x) = (1,2·x-1) dla x >= 1/2
f3: R → R² f3(x) = (0,3·x) dla x < 1/3; f3(x) = (1/2,3·x-1) dla x >= 1/3 i x < 2/3; f3(x) = (1,3·x-2) dla x >= 2/3
...

Granicą tego ciągu jest funkcja, która jest bijekcją z odcinka [0,1] na kwadrat jednostkowy [0,1]x[0,1], tak więc |R| = |R²| = |Rⁿ| = |R^∞| = c [dla n ∈ N].

Ponieważ nie ma najmniejszej liczby rzeczywistej większej od zera, Analiza matematyczna musiała wprowadzić pojęcie granicy, aby można było mówić o nieskończenie małych różnicach argumentów funkcji i w ten sposób zapoczątkować rachunek różniczkowy. Ale co, jeżeli wprowadzić liczbę nieskończenie małą [LNM]?

Kiedy mówię o liczbach nieskończenie małych mam na myśli liczby, które są mniejsze na moduł od wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera. Nie chodzi mi o symbol -∞.

Pierwszym człowiekiem, który używał LNM był Archimedes. Sam nie wierzył, że istnieją, jednak znalazł im zastosowanie w badaniu pól różnych figur.

Oczywiście LNM nie jest liczbą rzeczywistą. Trzeba więc stworzyć zbiór liczb hiperrzeczywistych i określić na nim porządek.

Załóżmy więc, że istnieje zbiór ⋆R, który zawiera w sobie wszystkie ciągi nieskończone. Spostrzegawczy czytelnik zauważy, że to tak naprawdę R^∞. Zbiór ⋆R nazwiemy zbiorem liczb hiperrzeczywistych, a element tego zbioru - liczbą hiperrzeczywistą.

Oprócz tego załóżmy, że liczby rzeczywiste przekładają się w sposób naturalny na liczby hiperrzeczywiste:

r ∈ R → r = (r, r, r, ...) ∈ ⋆R.

Dodatkowo, zdefiniujmy sobie działania podstawowe: Dodawanie liczb hiperrzeczywistych:

a,b ∈ ⋆R; a+b = (a₁, a₂, ...) + (b₁, b₂, ...) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ...)

I mnożenie w ten sam sposób. Dzielić przez liczbę hiperrzeczywistą można tylko wtedy gdy na żadnej pozycji nie ma zera.

Teraz trzeba wprowadzić sobie porządek - czyli relacje porównania, która z dwóch liczb jest większa. Sprawa nie jest prosta, bo która z tych liczb jest większa?:

(1, 0, 0, 0, ...) i (0, 1, 0, 0, ...)

Jeżeli zdefiniujemy sobie relacje większości tak, że liczba x jest większa od liczby y wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy [wszystkich oprócz skończonej ilości] liczby x są większe od odpowiadających im wyrazów liczby y:

a,b ∈ ⋆R; a > b ⇔ ∃n ∈ N, A ⊂ N : |A| = n ⋀ ∀k ∉ A : a_k > b_k

Takie założenie daje nam praporządek. Aby zacieśnić porządek trzeba jeszcze założyć, że jeżeli liczby różnią się w skończonej ilości miejsc to są równe:

a,b ∈ ⋆R; a = b ⇔ ∃n ∈ N, A ⊂ N : |A| = n ⋀ ∀k ∉ A : a_k = b_k

Stworzenie liniowego porządku jest niemożliwe, bo, przykładowo, nie można porównać (0, 0, ...) i (1, -1, 1, -1, ...) - na nieskończonej liczbie miejsc jest większa i na nieskończonej liczbie miejsc jest mniejsza.

Teraz, zdefiniujemy sobie liczbę nieskończenie małą [a] jako taką, która po pomnożeniu przez każdą liczbę rzeczywistą daje liczbę mniejszą od 1:

∀b ∈ R : ab < 1

Oczywiście, w takiej definicji, liczbą nieskończenie małą jest rzeczywiste zero. Jednak okazuje się, że istnieją niezerowe LNM, a nawet takie, które na żadnej pozycji nie zawierają zera. Przykład aż się ciśnie na usta:

(2^-1, 3^-1, 4^-1, 5^-1, ...)

Ta liczba ma taką własność, że jest mniejsza na moduł od każdej liczby rzeczywistej - tylko skończona ilość wyrazów jest większych. Odwrotnością tej liczby jest liczba nieskończenie wielka - taka, która jest większa od każdej liczby rzeczywistej.

Zdefiniujmy sobie moduł z liczby hiperrzeczywistej:

a ∈ ⋆R : |a| = (|a₁|, |a₂|, ...)

Funkcja transportowa z liczb hiperrzeczywistych do rzeczywistych jest bardziej skomplikowana. Zdefiniujmy sobie liczbę skończoną a, jeżeli spełnia warunek:

∃n ∈ R : |a| < n

Okazuje się, że takie liczby tworzą klasy równoważności równe liczbą rzeczywistym. Tzn. każdej takiej liczbie skończonej hiperrzeczywistej b odpowiada tylko jedna liczba rzeczywista st(b), że b - st(b) to liczba nieskończenie mała. Tę liczbę st(b) nazywamy częścią standardową liczby hiperrzeczywistej. Więc funkcja st jest funkcją transportową z skończonych liczb w ⋆R do R. Niestety to działa tylko z wyłączeniem niektórych liczb hiperrzeczywistych, tych patologicznych przypadków liczb, które są niewiększe i niemniejsze od jakiejś liczby rzeczywistej, ale nie są jej równe.

Już brakuje nam bardzo niewiele, aby zdefiniować pochodną, ale jeszcze musimy zdefiniować taki funkcjonał T, który funkcji rzeczywistej przypisuje funkcje hiperrzeczywistą pobierającą te same argumenty z takimi samymi wartościami. Po przekształceniu dowolnej funkcji przez ten funkcjonał, możemy wykonać pochodną. Tylko najpierw ją zdefiniujmy:

f'(x) = (f(x + dx) - f(x)) / dx

Gdzie dx to dowolna, niezerowa liczba nieskończenie mała. Jak widać pochodnych tak zdefiniowanych jest nieskończenie wiele - zależnie od wybranej liczby nieskończenie małej. Przykładowo teraz pokażę jak obliczyć pochodną x².

((x + dx)² - x²) / dx = (x² + 2·x·dx + dx² - x²) / dx = (2·x·dx + dx²) / dx = 2·x + dx

To jest pochodna funkcji hiperrzeczywistej - ona sama w sobie też jest hiperrzeczywista. Jednak gdy zrobimy st(2·x + dx) to dostaniemy 2·x - pochodną rzeczywistą, niezależną od wybranej liczby nieskończenie małej.

Jak widać pochodna może być zdefiniowana bez definiowania granicy. Takie podejście i cała analiza funkcyjna zbudowana na tej podstawie nazywa się wręcz niestandardową analizą.